Question

已知，如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF= GC．（1）求证

已知，如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF= GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）若四边形AEFG是矩形，请探索∠EFB与∠FGC的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC， ∴∠B=∠C， ∵GF=GC， ∴∠GFC=∠C， ∴∠B=∠GFC， ∴AB ∥ GF， 又∵AE=GF， ∴四边形AEFG是平行四边形； （2）若四边形AEFG是矩形，则∠EFB= 1 2 ∠FGC． 证明如下：过G作GH⊥FC，垂足为H， ∵GF=GC， ∴∠FGH= 1 2 ∠FGC，且∠FGH+∠GFC=90°， ∵∠EFG=90°， ∴∠EFB+∠GFH=90°， ∴∠EFB=∠FGH， ∴∠EFB= 1 2 ∠FGC．