Question

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥a x成立，则实数a的取值范围为______

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥a x成立，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax， 对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a 令g′（x）=0，解得x=e a-1 -1， （i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数， 又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0）， 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax． （ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a-1 -1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a-1 -1）是减函数， 又g（0）=0，所以对0＜x＜e a-1 -1，都有g（x）＜g（0）， 即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立． 综上，a的取值范围是（-∞，1]． 故答案为（-∞，1]．