Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0,4），C（2,0）．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0,4），C（2,0）．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135º，得到矩形EFGH（点E与O重合）． （1）若GH交y轴于点M，则∠FOM= ，OM= ．（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位．①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；②若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0＜t≤4 －2时，S与t之间的函数关系式．

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Answer 1

详见解析.

试题分析：（1）由旋转可得出∠AOF＝135°，再由矩形的内角为直角得到一个角为直角，利用∠AOF-∠AOC求出∠COF的度数，再由∠MOC为直角，由∠MOC-∠COF即可求出∠MOF的度数；由∠MOF的度数为45°，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出三角形OHM为等腰直角三角形，由OH＝MH＝2，利用勾股定理即可求出OM的长； （2）①如图所示，当AD与BO平行时，由AB与DO平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ABOD为平行四边形，由平行四边形的对边相等得到AB＝DO＝2，由平移可知：∠HEM＝45°，可得出∠OMD＝∠ODM＝45°，即三角形ODM为等腰直角三角形，得到OD＝OM，由OD的长求出OM的长，由三角形HEM为等腰直角三角形，且直角边长为2，利用勾股定理求出EM的长，用EM-OM即可求出平移的距离，即为t的值； ②分三种情况考虑：（i）如图1所示，当0＜t＜2时，重叠部分为等腰直角三角形，由平移的距离为t，得到等腰直角三角形直角边为t，利用三角形的面积公式即可表示出S；（ii）如图2所示，当 时，重叠部分为直角梯形，表示出上底，下底及高，利用梯形的面积公式表示出S即可；（iii）如图3所示，当 时，重叠部分为五边形，由梯形面积-三角形面积，表示出S即可． 试题解析： 解：（1）如图所示： 由旋转可得：∠AOF＝135°，又∠AOC＝90°， ∴∠COF＝∠AOF-∠AOC＝45°，又∠MOC＝90°， ∴∠FOM＝45°，又OF∥HG， ∴∠OMH＝∠FOM＝45°，又∠H＝90°， ∴△OHM为等腰直角三角形， ∴OH＝HM＝2， 则根据勾股定理得： ； （2）①如图所示：连接AD，BO ∵AD∥BO，AB∥OD， ∴四边形ADOB为平行四边形， ∴DO＝AB＝2， 由平移可知：∠HEM＝45°， ∴∠OMD＝∠ODM＝45°， ∴OM＝OD＝2，由平移可知： ，∴矩形EFGH平移的路程 ； ②分三种情况考虑： （i）如图1所示，当0＜t≤2时，重叠部分为等腰直角三角形，此时OE＝t，则重叠部分面积 （ii）如图2所示，当 时，重叠部分为直角梯形， 此时 （iii）如图3所示，当 时，E点在A点下方，重叠部分为五边形，此时   综上， ．