Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．（1）写出一个符合要求的函数，并猜想f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

（1）y=log_ax（a＞1，x＞0），…（2分）f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁
由f（xy）=f（x）+f（y），得f（xy）-f（x）=f（y），令xy=x₁，x=x₂，则，∵x₁＞x₂＞0，∴

x1

x2

＞1，∴f(x1)?f(x2)＝f(

x1

x2

)＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
由f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=2，得f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）=2…（7分）∴f（x）+f（x-3）≤f（4），即f[x（x-3）]≤f（4），…（8分）
由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得

x(x?3)≤4 x＞0 x?3＞0

，…（10分）             解得

?1≤x≤4 x＞3

，…（11分）
所以不等式的解集为{x|3＜x≤4}．…（12分）