Question

如图，把一块等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系的第二象限内，若∠A=90°，AB=AC，且A、B两点的坐标分

如图，把一块等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系的第二象限内，若∠A=90°，AB=AC，且A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，2）．（1）求点C的坐标；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的△DEF位置，若B、C两点的对应点E、F都在反比例函数y=kx的图象上，求m、k的值和直线EF的解析式；（3）在（2）的条件下，直线EF交y轴于点G，问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMF是平行四边形？若存在，求出点M和点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）作CH⊥x轴于H，如图，
∵A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，2）．
∴OA=4，OB=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAH=∠ABO，
在△ABO和△CAH中

∠AHC＝∠BOA ∠CAH＝∠ABO CA＝AB

，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴AH=OB=2，CH=OA=4，
∴OH=OA+AH=6，
∴C点坐标为（-6，4）；
（2）∵△ABC沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的△DEF位置，
∴D（-4+m），E（m，2），F（-6+m，4），
∵点E、F都在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴2?m=4（-6+m），解得m=12，
∴E点坐标为（12，2），F点的坐标为（6，4），
∴k=12×2=24，
∴反比例函数的解析式为y=

24

x

，
设直线EF的解析式为y=px+q，
把E（12，2），F（6，4）代入得

12p+q＝2 6p+q＝4

，
解得

p＝? 1 3 q＝6

，
∴直线EF的解析式为y=-

1

3

x+6；
（3）如图，
∵当x=0时，y=-

1

3

x+6=6，
∴G点坐标为（0，6），
∵四边形PGMF为平行四边形，
∴G点为GF为中点，
∴G点坐标为（3，5），
设P点坐标为（x，0），
∵G点为MP为中点，
∴M点坐标为（6-x，10），

Answer 2

∵A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，2）．
∴OA=4，OB=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAH=∠ABO，
在△ABO和△CAH中

∠AHC＝∠BOA
∠CAH＝∠ABO
CA＝AB

，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴AH=OB=2，CH=OA=4，
∴OH=OA+AH=6，
∴C点坐标为（-6，4）；
（2）∵△ABC沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的△DEF位置，
∴D（-4+m），E（m，2），F（-6+m，4），
∵点E、F都在反比例函数y=
k
x
的图象上，
∴2?m=4（-6+m），解得m=12，
∴E点坐标为（12，2），F点的坐标为（6，4），
∴k=12×2=24，
∴反比例函数的解析式为y=
24
x
，
设直线EF的解析式为y=px+q，
把E（12，2），F（6，4）代入得

12p+q＝2
6p+q＝4

，
解得

p＝?
1
3

q＝6

，
∴直线EF的解析式为y=-
1
3
x+6；
（3）如图，
∵当x=0时，y=-
1
3
x+6=6，
∴G点坐标为（0，6），
∵四边形PGMF为平行四边形，
∴G点为GF为中点，
∴G点坐标为（3，5），
设P点坐标为（x，0），
∵G点为MP为中点，
∴M点坐标为（6-x，10）