Question

在数列{an}中，a1=-1，a2=2，且an+1=an+an+2，则a2010=______

在数列{an}中，a1=-1，a2=2，且an+1=an+an+2，则a2010=______．

Answer 1

∵a_n+1=a_n+a_n+2，
∴a_n+2=a_n+1-a_n，
∴a_n+3=a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n-a_n+1=-a_n，
∴a_n+6=a_n，
即数列是周期数列，周期是6，
则a₂₀₁₀=a₆．
∵a₁=1，a₂=2，a_n+2=a_n+1-a_n；
∴a₃=a₂-a₁=2-1=1，a₄=a₃-a₂=1-2=-1，
a₅=a₄-a₃=-1-1=-2，
a₆=a₅-a₄=-2-（-1）=-1，
∴a₂₀₁₀=a₆=-1．
故答案为：-1．