已知点F是椭圆C的右焦点，A，B是椭圆短轴的两个端点，且△ABF是正三角形，（Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ
已知点F是椭圆C的右焦点，A，B是椭圆短轴的两个端点，且△ABF是正三角形，（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为...
已知点F是椭圆C的右焦点，A，B是椭圆短轴的两个端点，且△ABF是正三角形，（Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为23，求椭圆C的标准方程．
展开
1个回答
展开全部
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为
+
＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，
∵△ABF是正三角形，∴a=2b，b=
a，
又∵a2=b2+c2，∴c=
a，
∴椭圆的离心率e=
=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴椭圆方程为x2+4y2=4b2，
设直线l与椭圆C的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），
若直线l与x轴垂直，则弦长|MN|=
b，
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y=kx+m，
与x2+4y2=4b2联立，整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-b2）=0，（*）
则x1，x2是方程（*）的两个根，∴
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵△ABF是正三角形，∴a=2b，b=
| 1 |
| 2 |
又∵a2=b2+c2，∴c=
| ||
| 2 |
∴椭圆的离心率e=
| c |
| a |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴椭圆方程为x2+4y2=4b2，
设直线l与椭圆C的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），
若直线l与x轴垂直，则弦长|MN|=
| 3 |
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y=kx+m，
与x2+4y2=4b2联立，整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-b2）=0，（*）
则x1，x2是方程（*）的两个根，∴
|
