Question

求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k-1）=0的根都是整数的k值

求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k-1）=0的根都是整数的k值．

Answer 1

分k=0和k≠0两种情况讨论．
当k=0时，所给方程为x-1=0，有整数根x=1．
当k≠0时，所给方程为二次方程．
设两个整数根为x₁和x₂，则有

x1+x2＝? k+1 k ＝?1? 1 k ，① x1x2＝ k?1 k ＝1? 1 k ．②

由①-②得
x₁+x₂-x₁x₂=-2?（x₁-1）（x₂-1）=3．
=1×3=（-1）×（-3）．
有

x1?1＝1 x2?1＝3

x1?1＝?1 x2?1＝?3

x1?1＝3 x2?1＝1

x1?1＝?3 x2?1＝?1.

故x₁+x₂=6或x₁+x₂=-2，
即-1-

1

k

=6或-1-

1

k

=-2．
解得k=-

1

7

或k=1．
又△=（k+1）²-4k（k-1）=-3k²+6k+1，当k=-

1

7

或k=1时，都有△＞0．
所以，满足要求的k值为
k=0，k=-

1

7

，k=1．