常用复合函数的导数公式

大学微积分常用的复合函数导数,不要推理过程只要导数公式,上课的时候老师是讲了四个,谢谢... 大学微积分常用的复合函数导数,不要推理过程只要导数公式,上课的时候老师是讲了四个,谢谢 展开
 我来答
说谎dq428
推荐于2017-11-26 · TA获得超过124个赞
知道答主
回答量:158
采纳率:0%
帮助的人:104万
展开全部
  .常用导数公式
  1.y=c(c为常数) y'=0
  2.y=x^n y'=nx^(n-1)
  3.y=a^x y'=a^xlna
  y=e^x y'=e^x
  4.y=logax y'=logae/x
  y=lnx y'=1/x
  5.y=sinx y'=cosx
  6.y=cosx y'=-sinx
  7.y=tanx y'=1/cos^2x
  8.y=cotx y'=-1/sin^2x
  9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
  10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
  11.y=arctanx y'=1/1+x^2
  12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
  在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:
  1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』
  2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
  3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'
  证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
  2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
  3.y=a^x,
  ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
  ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
  如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β)。
  所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
  显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
  把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
  可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x。
  4.y=logax
  ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
  ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
  因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有
  lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
  可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x。
  这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
  所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。
  5.y=sinx
  ⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
  ⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
  所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
  6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx。
  7.y=tanx=sinx/cosx
  y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
  8.y=cotx=cosx/sinx
  y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
  9.y=arcsinx
  x=siny
  x'=cosy
  y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
  10.y=arccosx
  x=cosy
  x'=-siny
  y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
  11.y=arctanx
  x=tany
  x'=1/cos^2y
  y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
  12.y=arccotx
  x=coty
  x'=-1/sin^2y
  y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
  另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
  4.y=u土v,y'=u'土v'
  5.y=uv,y=u'v+uv'
  均能较快捷地求得结果。
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式