Question

如图所示，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D，且PD与⊙O相切．（1）求证：AB=AC；（2）

如图所示，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D，且PD与⊙O相切．（1）求证：AB=AC；（2）若BC=6，AB=4，求CD的值．

Answer 1

（1）证明：连接OP， ∵PD与⊙O相切， ∴OP⊥PD， ∵AC⊥PD， ∴OP ∥ AC， ∵OP=0A=OB= 1 2 AB， ∴猜颤饥OP是△ABC的中位线，∴OP= 1 2 AC， ∴AC=AB． （2）连接AP， ∵AB为直径， ∴AP⊥洞碰BC； 由（1）知，AC=AB=4， ∴PC=PB； 又∵BC=6， ∴PC=3； 在Rt△CDP与Rt△CPA中穗返，∠C=∠C， ∴Rt△CDP ∽ Rt△CPA， ∴ PC AC = CD PC ， ∵BC=6，AB=4， ∴ 3 4 = CD 3 ， CD= 9 4 ．