Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若tanC= 5 2 ，DE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）DE与⊙O相切， 理由如下：连接OD，BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， ∵E是BC的中点， ∴DE=BE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴∠EDB=∠EBD， ∵OD=OB， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠OBD+∠DBE=∠ODB+∠EDB， 即∠EDO=∠EBO=90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是半径， ∴DE与⊙O相切． （2）∵tanC= 5 2 = BD DC ，可设BD= 5 x，CD=2x， ∵在Rt△BCD中，BC=2DE=4，BD 2 +CD 2 =BC 2 ∴（ 5 x） 2 +（2x） 2 =16， 解得：x=± 4 3 （负值舍去） ∴BD= 5 x= 4 3 5 ， ∵∠ABD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°， ∴∠ABD=∠C， ∴tan∠ABD=tanC， ∵tan∠ABD= AD BD = 5 2 ， AD= 5 2 BD= 5 2 × 4 5 3 = 10 3 ． 答：AD的长是 10 3 ．