Question

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 　 　 ．

Answer 1

（0，12）或（0，﹣12）

试题分析：设线段BA的中点为E， ∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）。 （1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP= AB=5， 则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB= 。 以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C， ∵∠BCA为⊙P的圆周角， ∴∠BCA= ∠BPA=45°，则点C即为所求。 过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1， 在Rt△PFC中，PF=1，PC= ， 由勾股定理得： ， ∴OC=OF+CF=5+7=12。 ∴点C坐标为（0，12）。 （2）如答图2所示，根据圆满的对称性质，可得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）。 综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）。