Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y= f(x) x 在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y= f(x) x 在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y= f(x) x 2 在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω 1 ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω 2 ．（Ⅰ）已知函数f（x）=x 3 -2hx 2 -hx，若f（x）∈Ω 1 ，且f（x）?Ω 2 ，求实数h的取值范围；（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω 1 且f（x）的部分函数值由下表给出， x a b c a+b+c f（x） d d t 4 求证：d（2d+t-4）＞0；（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω 2 ，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）因为f（x）∈Ω 1 ，且f（x）?Ω 2 ， 即g（x）= f(x) x =x 2 -2hx-h，在（0，+∞）是增函数，所以h≤0  …（2分） 而h（x）= f(x) x 2 =x-2h- h x 在（0，+∞）不是增函数， 又∵h′（x）=1+ h x 2 ，且 当h（x）是增函数时，有h≥0，所以当h（x）不是增函数时，h＜0 综上，得h＜0                          …（4分） 证明：（Ⅱ） 因为f（x）∈Ω 1 ，且0＜a＜b＜c＜a+b+c， 所以 f(a) a ＜ f(a+b+c) a+b+c = 4 a+b+c ，所以f（a）=d＜ 4a a+b+c ， 同理可证f（b）=d＜ 4b a+b+c ，f（c）=t＜ 4c a+b+c 三式相加得f（a）+f（b）+f（c）=2d+t＜ 4(a+b+c) a+b+c =4 所以2d+t-4＜0                        …（6分） 因为 d a ＜ d b ，所以d（ b-a ab ）＜0 而0＜a＜b，所以d＜0 所以d（2d+t-4）＞0                                …（8分） （Ⅲ） 因为集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω 2 ，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}， 所以?f（x）∈Φ，存在常数k，使得 f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立 我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立 假设?x 0 ∈（0，+∞），使得f（x 0 ）＞0， 记 f( x 0 ) x 0 2 =m＞0 因为f（x）是二阶比增函数，即 f(x) x 2 是增函数． 所以当x＞x 0 时， f(x) x 2 ＞ f( x 0 ) x 0 2 =m，所以f（x）＞mx 2 所以一定可以找到一个x 1 ＞x 0 ，使得f（x 1 ）＞mx 1 2 ＞k 这与f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立矛盾                 …（11分） 即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立 所以?f（x）∈Φ，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立 下面我们证明f（x）=0在（0，+∞）上无解 假设存在x 2 ＞0，使得f（x 2 ）=0， 则因为f（x）是二阶增函数，即 f(x) x 2 是增函数 一定存在x 3 ＞x 2 ＞0，使 f( x 3 ) x 3 2 ＞ f( x 2 ) x 2 2 =0，这与上面证明的结果矛盾 所以f（x）=0在（0，+∞）上无解 综上，我们得到?f（x）∈Φ，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立 所以存在常数M≥0，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立 又令f（x）=- 1 x （x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立， 又有 f(x) x 2 = -1 x 3 在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）∈Φ， 而任取常数k＜0，总可以找到一个x n ＞0，使得x＞x n 时，有有f（x）＞k 所以M的最小值 为0       …（16分）