Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2AA1，∠BAA1=∠CAA1=60°，D，E分别为AB，A1C中点．（1）求证：DE∥

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2AA1，∠BAA1=∠CAA1=60°，D，E分别为AB，A1C中点．（1）求证：DE∥平面BB1C1C；（2）求证：BB1⊥平面A1BC．

Answer 1

证明：（1）连接AC₁，因为AA₁C₁C为平行四边形，
所以AC₁与A₁C互相平分．
因为E为A₁C的中点，
所以E为AC₁的中点．
连接BC₁，因为D为AB的中点，
所以DE∥BC₁．
因为BC₁?平面BB₁C₁C，DE?平面BB₁C₁C，
所以DE∥平面BB₁C₁C．
（2）设AA₁=a，则AB=2a．
因为∠BAA₁=60°，
所以A₁B²=A₁A²+AB²-2A₁A?AB?cos∠A₁AB=3a²，
所以A₁B²+A₁A²=AB²，
所以A₁A⊥A₁B．
因为B₁B∥A₁A，所以B₁B⊥A₁B．
同理B₁B⊥A₁C，
因为A₁B∩A₁C=A₁，
所以BB₁⊥平面A₁BC．