Question

设函数f（x）=ax-lnx，g（x）=ex-ax，其中a为正实数．（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的

设函数f（x）=ax-lnx，g（x）=ex-ax，其中a为正实数．（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=12ax2-ax在（1，+∞）交点个数．

Answer 1

（1）由g′（x）=e^x-a，
g′（0）=1-a=0得a=1，f（x）=x-lnx
∵f（x）的定义域为：（0，+∞），f′(x)＝1?

1

x

，
∴函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（2）由f′(x)＝a?

1

x

＝

ax?1

x

若0＜a＜1则f（x）在（1，+∞）上有最小值f（

1

a

），
当a≥1时，f（x）在（1，+∞）单调递增无最小值．
∵g（x）在（1，+∞）上是单调增函数
∴g'（x）=e^x-a≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≤e，
综上所述a的取值范围为[1，e]，
此时g(x)＝

1

2

ax2?ax即a=

2ex

x2

，令h（x）=

2ex

x2

，h′（x）=

2ex(x?2)

x3

，
则 h（x）在（0，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，
极小值为h(2)＝

e2

2

＞e．故两曲线没有公共点．

Answer 2

（1）由g′（x）=e^x-a，
g′（0）=1-a=0得a=1，f（x）=x-lnx
∵f（x）的定义域为：（0，+∞），f′(x)＝1−1x，
∴函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（2）由f′(x)＝a−1x＝ax−1x
若0＜a＜1则f（x）在（1，+∞）上有最小值f（ 1a），
当a≥1时，f（x）在（1，+∞）单调递增无最小值．
∵g（x）在（1，+∞）上是单调增函数
∴g'（x）=e^x-a≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≤e，
综上所述a的取值范围为[1，e]，
此时g(x)＝12ax2−ax即a= 2exx2，令h（x）= 2exx2，h′（x）= 2ex(x−2)x3，
则 h（x）在（0，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，
极小值为h(2)＝e22＞e．故两曲线没有公共点．