Question

设函数f(x)=x+a/x(a为常数,且a>0)(1)是否存在常数a,使f(x)在(0,3]上单调递减

设函数f(x)=x+a/x(a为常数,且a>0)
(1)是否存在常数a,使f(x)在(0,3]上单调递减，且在[3,+∞）上单调递增？若存在，求出a的值，若不存在，情说明理由
（2）若关于x的不等式x+a/x-m≤0（m为常数）在[1,4]上恒成立，求常数m的取值范围
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Answer 1

(1)f(x)=x+a/x
f'(x)=1-a/x²
f(x)在(0,3]上单调递减，且在[3,+∞）上单调递增,即要求：

f'(x)在(0,3)<0，且在(3,+∞)>0 ,f'(3)=0
x∈(0,3) 1-a/x²<0→x²-a<0
x∈(3,+∞) 1-a/x²>0→x²-a>0
x=3,x²-a=0
∴x=3为极小值点。
a=9
(2)x+a/x-m≤0→f(x)≤m
f'(x)=1-a/x²
f'(x)=0 x=√a
当a<1时，f'(x)恒大于0，f(x)单调递增，f(x)max=f(4)=4+a/4≤m
当a>16时,f'(x)恒小于0，f(x)单调递减，f(x)max=f(1)=1+a≤m
当1≤a≤16时,f(x)在x=√a左侧单调递减、右侧单调递增，f(x)max=max[f(1),f(4)]
m≥max[1+a,4+a/4]