Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f(x-1)的图像关于点（1，0）对称，若对任的x,y∈R，不等式f

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f(x-1)的图像关于点（1，0）对称，若对任的x,y∈R，不等式f( -6x+21)+f( -8y)<0恒成立，则当x>3时， 的取值范围是（ ） A (3,7) B (9,25) C (13,49) D (9,49)

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Answer 1

C

专题：综合题． 分析：由函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x -6x+21）+f（y -8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x-3） +（y-4） ＜4，借助于的有关知识可求． 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称， ∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称， 即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）， 又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x -6x+21）+f（y -8y）＜0恒成立 ∴f（x -6x+21）＜-f（y -8y）=f（8y-y ）恒成立， ∴x -6x+21＜8y-y ， ∴（x-3） +（y-4） ＜4恒成立， 设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点， 则d= 表示区域内的点和原点的距离． 由下图可知：d的最小值是OA= ， OB=OC+CB，5+2=7， 当x＞3时，x +y 的范围为（13，49）． 故答案为：（13，49）． 点评：本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合：及”转化”的思想在解题中的应用．