Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．（1）记正方形ABCD的面积为S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，S4，…，Sn，请求出S2，S3，S4的值．（2）根据以上规律写出Sn的表达式．

Answer 1

（1）∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=

2

×1=

2

，
AE=

2

×

2

=2，
HE=2

2

，
∴S₂=AC²=（

2

）²=2，
S₃=AE²=2²=4，
S₄=HE²=（2

2

）²=8；

（2）由（1）规律可得S_n=2^n-1．