Question

对于定义域为D的函数 ，若同时满足下列条件：① 在D内单调递增或单调递减；②存在区间[ ] ，使 在[

对于定义域为D的函数 ，若同时满足下列条件：① 在D内单调递增或单调递减；②存在区间[ ] ，使 在[ ]上的值域为[ ]；那么把 （ ）叫闭函数。（1）求闭函数 符合条件②的区间[ ]；（2）判断函数 是否为闭函数？并说明理由；（3）若 是闭函数，求实数 的取值范围。

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Answer 1

（1）所求的区间为[-1，1] （2）函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数 （3）

（1）由题意，0 在[ ]上递减，则 解得 所以，所求的区间为[-1，1]      （2）取 则 ，即 不是 上的减函数。 取 ， 即 不是 上的增函数 所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。 （3）若3 是闭函数，则存在区间[ ]，在区间[ ]上，函数 的值域为[ ]，即 ， 为方程 的两个实数根， 即方程 有两个不等的实根。 当 时，有 ，解得 。 当 时，有 ，无解。 综上所述， 。