Question

（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C （α+β） ：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C （α+β） 推导

（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C （α+β） ：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C （α+β） 推导两角和的正弦公式S （α+β） ：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（Ⅱ）已知cosα= ，α∈ ，tanβ= ，β∈ ，求cos（α+β）。





Answer 1

解：（Ⅰ）①证明：如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O， 并作出角α，β与-β， 使角α的始边为Ox，交⊙O于点P 1 ，终边交⊙O于点P 2 ； 角β的始边为OP 2 ，终边交⊙O于点P 3 ，角-β的始边为OP 1 ， 终边交⊙O于点P 4 ， 则P 1 （1，0），P 2 （cosα，sinα）， P 3 （cos（α+β），sin（α+β）），P 4 （cos（-β），sin（-β））， 由P 1 P 3 =P 2 P 4 及两点间的距离公式， 得[cos（α+β）-1] 2 +sin 2 （α+β）=[cos（-β）-cosα] 2 +[sin（-β）-sinα] 2 ， 展开并整理，得2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）， ∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； ②由①易得 ， =sinαcosβ+cosαsinβ， ∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

（Ⅱ） ， ∴ ， ， ∴ ， cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ 。