Question

已知函数f（x）=x- +a（2-lnx），a＞0，讨论f（x）的单调性。

已知函数f（x）=x- +a（2-lnx），a＞0，讨论f（x）的单调性。

Answer 1

解：f（x）的定义域是(0，+∞)， ， 设 ，二次方程g（x）=0的判别式 ， ①当 ，即 时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在(0，+∞)上是增函数； ②当 ，即 时，仅对 有f′（x）=0，对其余的x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在(0，+∞)上也是增函数； ③当 ，即 时， 方程g（x）=0有两个不同的实根 ， 此时f（x）在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增。

Answer 2

定义域x>0.
f(x)导数=1+2/x^2+a(-1/x),令其大于等于0，得a/x<=1+1/x^2，所以a<=x+1/x
因为x>0,x+1/x>=2,所以当0<a<=2时,a<=x+1/x恒成立，也就是f(x)单调递增；
a>2时,令f(x)导数<0,解得[a-根(a^2-4)]/2<x<[a+根(a^2-4)]/2，所以f(x)在此区间单调递增；同理可以得到在0<x<[a-根(a^2-4)]/2,以及x>[a+根(a^2-4)]/2时单调递增；
综合得，1)a<=2时，f(x)单调递增；
2）当a>2时，f(x)在（0，[a-根(a^2-4)]/2
]单调递增；在（
[a-根(a^2-4)]/2,[a+根(a^2-4)]/2）单调递减；在[
[a+根(a^2-4)]/2，正无穷）单调递增

回答人：潇湘诗社
☆国士无双卍
有疑问欢迎追问，满意望好和原创5采纳，谢谢！

Answer 3

定义域x>0.
f(x)导数=1+2/x^2+a(-1/x),令其大于等于0,得a/x<=1+1/x^2,所以a<=x+1/x
因为x>0,x+1/x>=2,所以当0<a<=2时,a<=x+1 x恒成立,也就是f(x)单调递增；a>2时,令f(x)导数<0,解得[a-根(a^2-4)]/2<x<[a+根(a^2-4)] 2,所以f(x)在此区间单调递增；同理可以得到在0[a+根(a^2-4)]/2时单调递增；
综合得,1)a<=2时,f(x)单调递增；
2）当a>2时,f(x)在（0,[a-根(a^2-4)]/2 ]单调递增；在（ [a-根(a^2-4)]/2,[a+根(a^2-4)]/2）单调递减；在[ [a+根(a^2-4)]/2,正无穷）单调递增

Answer 4

应该有两种方法,对原函数求导以后,用2次函数讨论对称轴及其最直的大小与0的问题,还有就是求两次导再解