Question

已知函数f（x）=x2?eax，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）

已知函数f（x）=x2?eax，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；（2）若对于任意的a＞0，都有f(x)≤f′(x)+x2+ax+a2+1a?eax成立，x的取值范围．

Answer 1

解（1）当a=-1时，f（x）=x²?e^-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=-x（x-2）e^-xf′（x）=0?x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：

∴x∈[-1，1]时，f_max（x）=e，f_min（x）=0
（2）命题等价于对任意a＞0，x²?e^ax≤2x?e^ax+ax²?e^ax+

x2+ax+a2+1

a

eax恒成立，
即x²≤2x+ax²+

x2+ax+a2+1

a

对任意a＞0恒成立．
(a+

1

a

)(x2+1)≥x2-3x，a+

1

a

≥

x2?3x

x2+1

（a＞0）
又∵a＞0∴a+

1

a

≥2

a? 1 a

=2
只需

x2?3x

x2+1

≤2?x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．