Question

已知关于x的方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0的解都是正整数，求整数k的值

已知关于x的方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0的解都是正整数，求整数k的值．

Answer 1

分两种情况：
①如果k²-1=0，那么k=±1．
当k=1时，原方程即为-12x+72=0，x=6，解是正整数，符合题意；
当k=-1时，原方程即为24x+72=0，x=-3，解不是正整数，不符合题意；
②如果k²-1≠0，那么原方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整数，
∴方程有实数根，判别式△≥0，
[-6（3k-1）]²-4×（k²-1）×72≥0，
整理，得：k²-6k+9≥0，
（k-3）²≥0．
设方程两根分别为x₁，x₂，由韦达定理，得
x₁+x₂=

6(3k?1)

k2?1

＞0，
解得k＞1或-1＜k＜

1

3

，
x₁x₂=

72

k2?1

＞0，
k＞1或k＜-1．
综上，得k＞1，
∵

72

k2?1

为整数，∴k²-1可以为1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，
∵k为整数，∴k²-1可以为3，8，24，
∵

6(3k?1)

k2?1

为整数，
∴k=2，3．
，综上，可知整数k的值1，2，3．