Question

（2006?福建）已知椭圆x22+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的

（2006?福建）已知椭圆x22+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上，求直线AB的方程．

Answer 1

解：（I）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2．
∵圆过点O、F，
∴圆心M在直线x＝?

1

2

上．
设M(?

1

2

，t)，则圆半径r＝|(?

1

2

)?(?2)|＝

3

2

．
由|OM|=r，得

(? 1 2 )2+t2

＝

3

2

，
解得t＝±

2

．
∴所求圆的方程为(x+

1

2

)2+(y±

2

)2＝

9

4

．
（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2＝1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程有两个不等实根，
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），
则x1+x2＝?

4k2

2k2+1

，x0＝

1

2

(x1+x2)＝?

2k2

2k2+1

，y0＝k(x0+1)＝

k

2k2+1

，
∵线段AB的中点N在直线x+y=0上，
∴