Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（2）当a＜0时，求f（x

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．

Answer 1

（1）由已知f′(x)＝2+

1

x

 (x＞0)，…（2分）
∴f'（1）=2+1=3．
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3．…（4分）
（2）求导函数可得f′(x)＝a+

1

x

＝

ax+1

x

(x＞0)．…（5分）
当a＜0时，由f'（x）=0，得x＝?

1

a

．
在区间(0，?

1

a

)上，f'（x）＞0；在区间(?

1

a

，+∞)上，f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为(0，?

1

a

)，单调递减区间为(?

1

a

，+∞)…（10分）
（3）由已知转化为f（x）_max＜g（x）_max．
∵g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x₂∈[0，1]，∴g（x）_max=2…（11分）
由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
（或者举出反例：存在f（e³）=ae³+3＞2，故不符合题意．）
当a＜0时，f（x）在(0，?

1

a

)上单调递增，在(?

1

a

，+∞)上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f(?

1

a

)＝?1+ln(

1

?a

)＝?1?ln(?a)，
所以2＞-1-ln（-a），所以ln（-a）＞-3，
解得a＜?

1

e3

．…（14分）