已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x< 时,f >f ;(3)若

已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x<时,f>f;(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,... 已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x< 时,f >f ;(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明f′(x0)<0. 展开
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骸君PPQ
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知道答主
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解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -2ax+(2-a)=      …1分
①若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.…………2分
②若a>0,则由f′(x)=0得x= ,且当x∈(0, )时,f′(x)>0,当x> 时,
f′(x)<0.所以f(x)在(0, )单调递增 ,在( , )单调递减.…………4分
(2)设函数g(x)=f -f ,则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,
g′(x)= -2a   …………………………6分
当0<x< 时,g′(x)>0,…………7分   而g(0)=0,所以g(x)>0.
故当0<x< 时,f >f .    …………………………9分
(3)当a≤0时,函数y=f(x)的图象与x轴至多有一 个交点,故a>0,…………10分
从而f(x)的最大值为 ,且 .…………………………11分
不妨设 ,则 . 由(2)得
,而f(x)在( , )单调递减.
……14分于是 .由(1)知, .…………15分

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