Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量 m =(cosA-2cosC，2c-a) 与

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量 m =(cosA-2cosC，2c-a) 与 n =(cosB，b) 平行．（1）求 sinC sinA 的值；（2）若bcosC+ccosB=1，△ABC周长为5，求b的长．

Answer 1

（1）由已知向量 m =(cosA-2cosC，2c-a) 与 n =(cosB，b) 平行 ∴b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB， 由正弦定理，可设 a sinA = b sinB = c sinC =k≠0 ，则（cosA-2cosC）ksinB=（2ksinC-ksinA）cosB， 即（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB，…（3分） 化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）， 又A+B+C=π，所以sinC=2sinA， 因此 sinC sinA =2 ．…（6分） （2） bcosC+ccosB=b? a 2 + b 2 - c 2 2ab +c a 2 + c 2 - b 2 2ac = 2 a 2 2a =a=1 ，…（8分） 由（1）知 c a = sinC sinA =2 ，∴c=2，…（10分） 由a+b+c=5，得b=2．…（12分）