Question

已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0）．（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（

已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0）．（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）当b=-1时，如果f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），记x0=x1+x22．试问：f（x）的图象在点C（x0，f（x0））处的切线是否平行于x轴？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由题意f′（x）=

1

x

?2ax?1＝?

2ax2+x?1

x

＜0有解．
即2ax²+x-1＞0，即判别式△=1+8a＞0，
解得a＞?

1

8

且a≠0，
故a的取值范围是{a|a＞?

1

8

且a≠0}．
（Ⅱ）假设f（x）的图象在点C（x₀，f（x₀））处的切线平行于x轴，则有
f′（x₀）=

1

x0

?2ax0+1=

2

x1+x2

-a（x₁+x₂）+1=0，
即

2

x1+x2

=a（x₁+x₂）-1，①
又f（x₁）=lnx₁-ax₁²+x₁=0②
f（x₂）=lnx₂-ax₂²+x₂=0 ③
②-③得ln

x1

x2

-a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（x₁-x₂）=0，
从而

ln x1 x2

x1?x2

=a（x₁+x₂）-1，④
由①④得

lnx1?lnx2

x1?x2

＝

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

＝

2( x1 x2 ?1)

( x1 x2 +1)

，
令

x1

x2

＝t(0＜t＜1)，得lnt=

2(t?1)

t+1

   &