Question

如图所示，半径为 R 、圆心为 O 的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿

如图所示，半径为 R 、圆心为 O 的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为 m 的重物，忽略小圆环的大小。（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧 θ =30°的位置上(如图)．在-两个小圆环间绳子的中点 C 处，挂上一个质量 M = m 的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物 M ．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物 M 下降的最大距离．（2）若不挂重物 M ．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?





Answer 1

(1) 重物 M 下降的最大距离 (2)平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧 角的位置上

(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为 ，由机械能守恒定律得 解得  （另解h=0舍去） (2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为 a．两小环同时位于大圆环的底端． b．两小环同时位于大圆环的顶端． c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端． d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧 角的位置上(如图所示)． 对于重物 ，受绳子拉力 与重力 作用，有： 对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力 、竖直绳子的拉力 、大圆环的支持力 .两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反 得 ,而 ，所以 。