△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动
△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别...
△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
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（1）当点P在AC上时，∵AM=t，∴PM=AM?tan60°=
t．
∴y=
t?
t=
t2（0≤t≤1）．
当点P在BC上时，PM=BM?tan30°=
（4-t）．
y=
t?
（4-t）=-
t2+
t（1≤t≤3）．
（2）∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t．
∴QN=BN?tan30°=
（3-t）．
由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即
t=
（3-t），
∴t=
．∴当t=
s时，四边形MNQP为矩形．
（3）由（2）知，当t=
s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时
=tan30°=
．
∵
=cos60°=
，
∴AP=2AM=2t．
∴CP=2-2t．
∵
=cos30°=
，
∴BQ=
＝
（3-t）．
又∵BC=2
，
∴CQ=2
?
| 3 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
当点P在BC上时，PM=BM?tan30°=
| ||
| 3 |
y=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| ||
| 6 |
2
| ||
| 3 |
（2）∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t．
∴QN=BN?tan30°=
| ||
| 3 |
由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即
| 3 |
| ||
| 3 |
∴t=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（3）由（2）知，当t=
| 3 |
| 4 |
∴△PQC∽△ABC．
除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时
| CQ |
| CP |
| ||
| 3 |
∵
| AM |
| AP |
| 1 |
| 2 |
∴AP=2AM=2t．
∴CP=2-2t．
∵
| BN |
| BQ |
| ||
| 2 |
∴BQ=
| BN | ||||
|
2
| ||
| 3 |
又∵BC=2
| 3 |
∴CQ=2
| 3 |
2
|
