Question

如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90度．（1）过C作对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E，F，求证：CD2=D

如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90度．（1）过C作对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E，F，求证：CD2=DF?DA；（2）如图2，若过BD上另一点E作BD的垂线，分别交BA，BC的延长线于点F，G，又有什么结论呢？你会证明吗？

Answer 1

解答：证明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE?DB=DA?DF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，
∴

DC

DE

=

DB

DC

，
∴DC²=DE?DB，
又∵DE?DB=DA?DF，
∴CD²=DF?DA．

（2）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠ABD=∠EBF，
∴△DAB∽△FEB，
∴DB：FB=AB：EB，
∴BE?BD=AB?BF．
同理△DBC∽△GBE．
∴DB：GB=BC：BE．
∴BE?BD=BC?BG．
∴AB?BF=BC?BG．