已知函数f（x）=x-1x-alnx，g（x）=x+1x-（lnx）a，其中x＞0，a∈R（I）若函数f（x）无极值，求a的取值范
已知函数f（x）=x-1x-alnx，g（x）=x+1x-（lnx）a，其中x＞0，a∈R（I）若函数f（x）无极值，求a的取值范围；（II）当a取（I）中的最大值时，求...
已知函数f（x）=x-1x-alnx，g（x）=x+1x-（lnx）a，其中x＞0，a∈R（I）若函数f（x）无极值，求a的取值范围；（II）当a取（I）中的最大值时，求函数g（x）的最小值；（III）证明不等式nk＝112k(2k+1)＞ln2n+12n+1(n∈N*)．
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解答：（I）解：求导函数，可得f′(x)＝
∵函数f（x）无极值，∴方程x2-ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根
∴方程a＝x+
在（0，+∞）上无根或有唯一根
∴a≤2；
（II）解：a=2时，f（x）=x-
-2lnx，g（x）=x+
-（lnx）2，
由（I）知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
当x∈（0，1）时，f（x）=x-
-2lnx＜f（1）=0，即x-
＜2lnx＜0；
当x∈（1，+∞）时，f（x）=x-
-2lnx＞f（1）=0，即x-
＞2lnx＞0；
∴x＞0时，|x-
|≥|2lnx|=|lnx2|
令x2=t＞0，∴|
?
|≥|lnt|
平方得t+
?2≥(lnt)2
∴t＞0时，t+
?(lnt)2≥2成立，当且仅当t=1时取等号
∴当x=1时，函数g（x）取最小值2；
（III）证明：由上知，x＞1时，x+
-（lnx）2＞2，即(
?
)2＞(lnx)2
∴x＞1时，
?
＞lnx成立，
令x＝
，得
?
＞ln
，
即
＞ln
∴不等式
＞ln
+…+ln
＞ln
+…+ln
=ln(2n?
?…?
)=ln
即
| x2?ax+1 |
| x2 |
∵函数f（x）无极值，∴方程x2-ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根
∴方程a＝x+
| 1 |
| x |
∴a≤2；
（II）解：a=2时，f（x）=x-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
由（I）知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
当x∈（0，1）时，f（x）=x-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
当x∈（1，+∞）时，f（x）=x-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
∴x＞0时，|x-
| 1 |
| x |
令x2=t＞0，∴|
| t |
| 1 | ||
|
平方得t+
| 1 |
| t |
∴t＞0时，t+
| 1 |
| t |
∴当x=1时，函数g（x）取最小值2；
（III）证明：由上知，x＞1时，x+
| 1 |
| x |
| x |
| 1 | ||
|
∴x＞1时，
| x |
| 1 | ||
|
令x＝
| 2n+1 |
| 2n |
|
|
| 2n+1 |
| 2n |
即
| 1 | ||
|
| 2n+1 |
| 2n |
∴不等式
| n |
 |
| k＝1 |
| 1 | ||
|
| 21+1 |
| 21 |
| 2n+1 |
| 2n |
| 21+2 |
| 21+1 |
| 2n+2 |
| 2n+1 |
=ln(2n?
| 20+1 |
| 21+1 |
| 2n?1+1 |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
即
