Question

设z=f（2x-y，ysinx），其中f（u，v）具有连续的二阶偏导数，求?2z?x?y

设z=f（2x-y，ysinx），其中f（u，v）具有连续的二阶偏导数，求?2z?x?y．

Answer 1

∵z=f（2x-y，ysinx）
∴

?

?x

z=

?

?x

f（2x-y，ysinx）
=f₁′

?

?x

（2x-y）+f₂'

?

?x

（ysinx）
=2f₁′+ycosxf₂'

?2z

?x?y

=

?

?y

（2f₁′+ycosxf₂'）
=2

?

?y

f₁′+cosx

?

?y

（yf₂'）
因为：

?

?y

f₁′=f₁₁″

?

?y

（2x-y）+f₁₂″

?

?y

（ysinx）
=-f₁₁″+sinxf₁₂″

?

?y

（yf₂'）=f₂'+y

?

?y

f₂'
=f₂'+y[f₂₁″

?

?y

（2x-y）+f₂₂″

?

?y

（ysinx）]
=f₂'+y[-f₂₁″+sinxf₂₂″]
=f₂'-yf₂₁″+ysinxf₂₂″
所以：

?2z

?x?y

=2

?

?y

f₁′+cosx

?

?y

（yf₂'）
=2（-f₁₁″+sinxf₁₂″）+cosx（f₂'-yf₂₁″+ysinxf₂₂″）
=-2f₁₁″+2sinxf₁₂″+cosxf₂'-ycosf₂₁″+ysinxcosxf₂₂″
又因为函数f具有连续二阶导数，所以其二阶混合偏导数相等，即：
f₁₂″=f₂₁″
所以：

?2z

?x?y

=-2f₁₁″+2sinxf₁₂″+cosxf₂'-ycosf₂₁″+ysinxcosxf₂₂″
=-2f₁₁″+（2sinx-ycosx）f₁₂″+cosxf₂'+ysinxcosxf₂₂″
故

?2z

?x?y

的值为：
-2f₁₁″+（2sinx-ycosx）f₁₂″+cosxf₂'+ysinxcosxf₂₂″

Answer 2

简单计算一下即可答案如图所示

Answer 3

zx=f1*2+f2
ycosx
=2f1+ycosxf2
zxy=-2f11+2sinxf12+cosxf2+ycosx（-f21+sinxf22）
=-2f11+2sinxf12+cosxf2-ycosxf21+ysinxcosxf22