Question

如图，E，F是平行四边形ABCD对角线上两点，AE=CF．求证：（1）BE=DF；（2）四边形BEDF是平行四边形

如图，E，F是平行四边形ABCD对角线上两点，AE=CF．求证：（1）BE=DF；（2）四边形BEDF是平行四边形．

Answer 1

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等），即∠BAE=∠DCF．
在△ABE和△CDF中，

AB＝CD ∠BAE＝∠DCF AE＝CF(已知)

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF（全等三角形的对应边相等）；

（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠BEA=∠CFD（全等三角形的对应角相等）．
∵∠BEF=180°-∠BEA，∠AFD=180°-∠CFD，
∴∠BEF=∠AFD，
∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）；
又由（1）知，BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）．