已知：抛物线y=x2-（m+1）x+m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）若m
已知：抛物线y=x2-（m+1）x+m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；（...
已知：抛物线y=x2-（m+1）x+m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；（2）点D在x轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE∥x轴与抛物线交于另一点E，作DF⊥x轴于F，作EG⊥x轴于点G，求矩形DEGF周长的最大值；（3）若m＜0，以AB为一边在x轴上方做菱形ABMN（∠NAB为锐角），P是AB边的中点，Q是对角线AM上一点，若cos∠NAB＝45，QB+PQ=6，当菱形ABMN的面积最大时，求点A的坐标．
展开
1个回答
展开全部
（1）∵抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1、x2是关于x的方程x2-（m+1）x+m=0的解．
解方程，得x=1或x=m．
（1）∵A在B的左侧，m＞1，
∴x1=1，x2=m．
∴AB=m-1．
抛物线与y轴交于C（0，m）点．
∴OC=m．
△ABC的面积S=
AB?OC=
(m?1)m＝6．
解得m1=4，m2=-3（不合题意，舍去）．
∴抛物线解析式为y=x2-5x+4；
（2）∵点D在（1）中的抛物线上，
∴设D（t，t2-5t+4）（1＜t＜
）．
∴F（t，0），DF=-t2+5t-4．
又抛物线对称轴是直线x＝
，DE与抛物线对称轴交点记为R（如图），
∴DR=
?t，DE=5-2t．
设矩形DEGF的周长为L，则L=2（DF+DE）．
∴L=2（-t2+5t-4+5-2t）
=-2t2+6t+2
=?2(t?
)2+
．
∵1＜t＜
，
∴当且仅当t＝
时，L有最大值．
当t＝
时，L最大=
．
∴矩形周长的最大值为
．
（3）∵A在B的左侧，m＜0，
∴x1=m，x2=1．
∴AB=1-m．
如图，作NH⊥AB于H，连接QN．
在Rt△AHN中，cos∠NAB＝
=
．
设AH=4k（k＞0），则AN=5k，NH=3k．
∴AP=
AB=
AN=
k，PH=AH-AP=4k?
k=
k，PN=
=
∴x1、x2是关于x的方程x2-（m+1）x+m=0的解．
解方程，得x=1或x=m．
（1）∵A在B的左侧，m＞1，
∴x1=1，x2=m．
∴AB=m-1．
抛物线与y轴交于C（0，m）点．
∴OC=m．
△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得m1=4，m2=-3（不合题意，舍去）．
∴抛物线解析式为y=x2-5x+4；
（2）∵点D在（1）中的抛物线上，
∴设D（t，t2-5t+4）（1＜t＜
| 5 |
| 2 |
∴F（t，0），DF=-t2+5t-4．
又抛物线对称轴是直线x＝
| 5 |
| 2 |
∴DR=
| 5 |
| 2 |
设矩形DEGF的周长为L，则L=2（DF+DE）．
∴L=2（-t2+5t-4+5-2t）
=-2t2+6t+2
=?2(t?
| 3 |
| 2 |
| 13 |
| 2 |
∵1＜t＜
| 5 |
| 2 |
∴当且仅当t＝
| 3 |
| 2 |
当t＝
| 3 |
| 2 |
| 13 |
| 2 |
∴矩形周长的最大值为
| 13 |
| 2 |
（3）∵A在B的左侧，m＜0，
∴x1=m，x2=1．
∴AB=1-m．
如图，作NH⊥AB于H，连接QN．
在Rt△AHN中，cos∠NAB＝
| AH |
| AN |
| 4 |
| 5 |
设AH=4k（k＞0），则AN=5k，NH=3k．
∴AP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| PH2+HN2 |
3
|
