Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（n为正整数）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记S=a

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（n为正整数）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记S=a1+a2+…+an+…若对任意正整数n，kS≤Sn恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

（1）由题设条件得
3a_n+1+2s_n=3，3a_n+2s_n-1=3
两式相减，得3a_n+1-3a_n+2（S_n-S_n-1）=0，
即an+1＝

1

3

an，n＞1 又a2＝

1

3

，
所以通项为：an＝(

1

3

)n?1．
（2）S=

lim

n→∞

Sn=

a1

1?q

＝

3

2

，
要kS≤Sn恒成立，由于Sn递增
所以只要kS=S₁，即k的最大值为

2

3

．