在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M形成轨迹
在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M形成轨迹C．（1）求轨迹C的方程；（2）若直线y=x与曲线C交...
在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M形成轨迹C．（1）求轨迹C的方程；（2）若直线y=x与曲线C交于AB两点，Q为曲线C上一动点，求△ABQ面积的最大值．
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（1）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）
∵M为线段PD的中点，∴y1+0=2y，y1=2y．
又∵P（x，y1）在圆x2+y2=4上，∴x2+y12=4，
∴x2+4y2=4，即
+y2=1．
∴轨迹C为椭圆，且方程为x2+
＝1；
（2）联立直线y=x和椭圆x2+
＝1，得到5x2=4，即x=±
，
即有A（
，
），B（-
，-
），
|AB|=
∵M为线段PD的中点，∴y1+0=2y，y1=2y．
又∵P（x，y1）在圆x2+y2=4上，∴x2+y12=4，
∴x2+4y2=4，即
| x2 |
| 4 |
∴轨迹C为椭圆，且方程为x2+
| y2 |
| 4 |
（2）联立直线y=x和椭圆x2+
| y2 |
| 4 |
2
| ||
| 5 |
即有A（
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
|AB|=
4
|
