Question

已知函数f（x）=log2（|x-1|+|x-5|-a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义

已知函数f（x）=log2（|x-1|+|x-5|-a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，
即不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，------------------①
①当x≤1时，不等式①等价于-2x+1＞0，解之得x＜

1

2

；
②当1＜x≤5时，不等式①等价于-1＞0，无实数解；
③当x＞5时，不等式①等价于2x-11＞0，解之得x＞

11

2

综上所述，函数f（x）的定义域为（-∞，

1

2

）∪（

11

2

，+∞）．
（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，
∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，
∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）_min即可，
又∵|x-1|+|x-5|≥|（x-1）+（x-5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）
∴a＜（|x-1|+|x-5|）_min即a＜4，可得实数a的取值范围是（-∞，4）．