Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O上一动点且在第一象限内，过点P作⊙O

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O上一动点且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x、y轴分别交于点A、B．（1）求证：△OBP与△OPA相似；（2）当点P为AB中点时，求出P点坐标；（3）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）证明：
∵AB是过点P的切线，
∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；（1分）
∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，
又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；（1分）
在△OPB中△APO中，
∴△OPB∽△APO．（2分）

（2）∵OP⊥AB，且PA=PB，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴OP是∠AOB的平分线，
∴点P到x、y轴的距离相等；（1分）
又∵点P在第一象限，
∴设点P（x，x）（x＞0），
∵圆的半径为2，
∴OP=

2x2

＝2，解得x=

2

或x=-

2

（舍去），（2分）
∴P点坐标是（

2

，

2

）．（1分）

（3）存在；
①如图设OAPQ为平行四边形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；
∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，
∴∠POQ=90°，
∵OP=OQ，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OB是∠POQ的平分线且是边PQ上的中垂线，
∴∠BOQ=∠BOP=45°，
∴∠AOP=45°，
设P（x，x）、Q（-x，x）（x＞0），（2分）
∵OP=2代入得

2x2

＝2，解得x=

2

，
∴Q点坐标是（-

2

，

2

）；（1分）
②如图示OPAQ为平行四边形，
同理可得Q点坐标是（

2

，-

2

）．（1分）