Question

一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动．杆最初处在水平位置．杆上距O为a处放有

一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动．杆最初处在水平位置．杆上距O为a处放有一小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态如图所示．若此杆突然以匀角速ω绕O轴转动，问当ω取什么值时小物体与杆可能相碰？

Answer 1

当杆转动之后，小物体B将沿竖直方向自由下落．B若与杆相碰撞，只能发生在BC段路上，对杆来说，就是发生在图中θ角以内，这有两种可能
（1）杆转动角速度较小，B追上杆相碰，
小物体做自由落体运动，在时间t内下落BC=atanθ=

1

2

gt2
此时A点转过角度θ=ωt
由以上两式得ω=

g 2a

θ

tanθ

　可见在不同的角度θ时相遇要有不同的ω值，小物体追上杆的临界情况是在D点相碰，所以有：BD=

L2?a2

=

1

2

gt2
ω1t＝arccos

a

L

解得ω₁=

g 2 L2?a2

arccos

a

L

ω的取值ω₁≤

g 2 L2?a2

arccos

a

L

（2）杆转动角速度较大，一周后追上B相碰，则
如图（b）所示．
这时杆转过的角度θ2＝arccos

a

L

+2π
所以ω2＝

θ2

t

=

g 2 L2?a2

(2π+arccos

a

L

)．
所以ω₂≥

g 2 L2?a2

(2π+arccos

a

L

)．
答：ω₁≤

g 2 L2?a2

arccos

a

L

或ω₂≥

g 2 L2?a2

(2π+arccos

a

L

)时小物体与杆可能相碰．