Question

求数学学霸解题 高三数学

Answer 1

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且纵坐标为4，|PF|=4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l与抛物线交于A，B两点，且∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB面积最大时直线l的方程．
答案
解：（1）设点P（x0，4），∵|PF|=4，
∴由抛物线的定义得x0+ p 2 =4．
又∵42=2px0，二式联立解得x0=2，p=4．
故此抛物线的方程为y2=8x．（4分）
（2）由（1）知点P的坐标为（2，4），
由∠APB的角平分线与x轴垂直，
知PA，PB的斜率互为相反数．（5分）
设直线PA的方程为y-4=k（x-2），（k≠0）
由
y=kx-2k+4 y2=8x ，消去x得ky2-8y-16k+32=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+4= 8 k ，即y1= 8 k -4，
同理y2=- 8 k -4．（7分）
∴直线AB的斜率为kAB= y2-y1 x2-x1 = 8(y2-y1) y22-y12 = 8 y1+y2 =-1．（8分）
设直线AB的方程为y=-x+b，
把x=-y+b代入抛物线方程，得y2+8y-8b=0，
由题意知△=64+32b＞0，且y1y2=-8b≥0，
从而-2＜b≤0．又y1+y2=-8，
∴|AB|=
1+(-1)2 •|y1-y2|=8
b+2 ，
点P到AB的距离d= |6-b|
2 ．
因此，S△PAB=2
2 •
(b+2)(b-6)2 ，（10分）
令f（b）=（b+2）（b-6）2=b3-10b2+12b+72，（-2＜b≤0），
则f'（b）=3b2-20b+12＞0在b∈（-2，0]上恒成立，
∴函数f（b）在b∈（-2，0]上为增函数，
因此f（b）max=f（0）=72，
即△PAB面积的最大值为S△PAB=2
2 •
72 =24
∴当b=0时，△PAB的面积取得最大值．此时直线l的方程为x+y=0．（12分）
解析
（1）设点P（x0，4），由已知条件得x0+ p 2 =4，42=2px0，由此能求出抛物线的方程为y2=8x．
（2）由（1）知点P的坐标为（2，4），由∠APB的角平分线与x轴垂直，知PA，PB的斜率互为相反数，设直线PA的方程为y-4=k（x-2），（k≠0）由
y=kx-2k+4 y2=8x ，得ky2-8y-16k+32=0，由此推导出可设直线AB的方程为y=-x+b，把x=-y+b代入抛物线方程得y2+8y-8b=0，从而能求出当b=0时，△PAB的面积取得最大值．此时直线l的方程为x+y=0．
本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．