Question

求函数y=(1/4)^x-(1/2)^x+1在x属于[-3,2]上的值域

Answer 1

解由(1/4)^x=[(1/2)^x]^2，
则令t=(1/2)^x，由x属于[-3,2]
则t属于[1/4,8]
则原函数变为y=t^2-t+1
=(t-1/2)^2+3/4 t属于[1/4,8]
当t=1/2时，y有最小值y=3/4
当t=8时，y有最大值y=57
故原函数的值域为[3/4,57].

Answer 2

设t=(1/2)^x 则y=t^2 - t + 1 = (t-1/2)^2 + 3/4 x∈[-3,2] => t∈[1/4,8]且t=(1/2)^x是减函数 当t=1/2时,y最小值=3/4 当t=8时,y最小值=57 故值域y∈[3/4,57] 当t∈[1/4,1/2]时y= (t-1/2)^2 + 3/4是减函数 因t=(1/2)^x也是减函数 所以函数单调增区间是x∈[1,2] 当t∈[1/2,8]时,y= (t-1/2)^2 + 3/4是增函数 因t=(1/2)^X是减函数 所以函数单调减区间是x∈[-3，1]

Answer 3

换元法的经典题
令1/2^x=t
t属于[1/4，8]
则y=t^2-t+1=（t-1/2）^+3/4
值域是[3/4，57]

Answer 4

用换元法 令t=(1/2)^x ，则 t∈[1/4,8] y=t-t+1=(t-1/2)+3/4 所以ymin=3/4，ymax=57 所以值域为 [3/4,57]