Question

高中数学概率那章几何概型的一个问题

Rt三角形ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率（结果是1/6）

解答时老师说要用角度算，可为什么用线段长度算不行，两个结果不一样呢？

Answer 1

我想楼主用线段求的思路是这样的：原问题的概率相当于是在AB上随机取点M，使得|AM|＞|AC|能够成立的M点的概率，对吗？这样算的话，满足|AM|＞|AC|的M点的概率应该是（2-√3）/2对吗？
楼主这样算就错了，因为你把原问题“从C做CM交AB于M”看成了“在AB上随机取点”，你忽略了这个转化一个很重要的条件：M出现在AB上每一个点上的概率并不是相同的！只有M在AB上每一个位置出现的概率都相同，才能使用线段长度算的方法成立！
而过C引射线CM交AB于M，则应该理解为，CM与AC所成的夹角是0到90度之间任意一个角度的概率是相等的！由此可以看出，CM与AB相交时，并不是M出现在AB上任意一点的可能性都是相等的！所以正确的方法应该是，当AC=AM时，有角MCA=75度，当MCA大于75度小于90度时，才会有AM>AC成立，也就是说此时的MCA角可以从75度取到90度，有15个角度的区间可以选择，而在0到75度这75个角度区间中，是无法满足AM>AC的，所以概率为1/6