Question

证明I=(x2+2xy)dx+(x2+y4)dy积分与路径无关

Answer 1

全微分的积分与积分路径无关，从f(x1,y1)到f(x2,y2)的任何一条积分路径积出来的结果都是f(x2,y2)-f(x1,y1)
要证明I是一个全微分,首先I=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，若P(x,y)的y偏导数=Q(x,y)的x偏导数，则I=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一个全微分。
题中P(x,y)=x2+2xy，y的偏导数为2x，Q(x,y)=x2+y4，x的偏导数为2x，满足条件，故I为全微分，其积分与路径无关

Answer 2

说明：应该是，证明I=∫(x2+2xy)dx+(x2+y4)dy积分与路径无关。
证明：∵偏导数α(x2+2xy)/αy=偏导数α(x2+y4)/αx=2x
∴根据格林定理知 I=∫(x2+2xy)dx+(x2+y4)dy积分与路径无关。证毕。