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#热议# 空调使用不当可能引发哪些疾病？

巫清疏08
2015-10-25 · TA获得超过210个赞

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解：
令 x = tanu
原积分 = ∫ {cosu/ [ 1 + (sinu)^2 ]} du = ∫ d(sinu)/ [ 1 + (sinu)^2 ]
= arctan(sinu) + C
= arctan[ x/( 1 + x^2 )^(1/2) ] + C

追问

能不能详细一点啊？

追答

解：
令  x = tanu
原积分 = ∫ [du /(cosu^2 ] / {[ 2*(tanu)^2 + 1 ] * [ 1 + (tanu)^2 ] ^(1/2) } 
= ∫ [du /(cosu^2 ] / {[ 2*(sinu/cosu)^2 + 1 ] * [ 1 /(cosu)^2 ] ^(1/2) } 
= ∫ [du / {[ 2*(sinu)^2 + (cosu)^2  ] * [ 1 /(cosu) ] } 
= ∫ [du / {[  ( (sinu)^2 + (cosu)^2 ) +  (sinu)^2  ] * [ 1 /(cosu) ] }
= ∫ [du / {[ 1 +  (sinu)^2  ] * [ 1 /(cosu) ] }
= ∫ [ cosu * du / {[ 1 +  (sinu)^2  ]   
=  ∫ d(sinu)/ [ 1 + (sinu)^2 ] 
=  ∫ d [ arctan(sinu) ] 
= arctan(sinu) + C   ,
= arctan[ x/( 1 + x^2 )^(1/2) ] + C 
这里， 因为  x = tanu = sinu/cosu
所以  x^2  =  ( sinu/cosu )^2 = (sinu)^2 / (cosu)^2  =    (sinu)^2 / [ 1 -  (sinu)^2 ]
从而  x^2 /  ( 1 + x^2 ) =   (sinu)^2
 两边开平方，有  sinu =  [ x^2 / ( 1 + x^2 ) ]^(1/2)  = x  / ( 1 + x^2 )^(1/2) 
所以  arctan(sinu) = arctan [ x  / ( 1 + x^2 )^(1/2)  ]