Question

高等数学，第一类线积分例38，方法一最后一行为什么是2∮那个2怎么来的？因为图像是个圆吗？为什么圆

高等数学，第一类线积分例38，方法一最后一行为什么是2∮那个2怎么来的？因为图像是个圆吗？为什么圆要乘以2，就这么算不能全部算到吗

Answer 1

关于第一类曲线积分的计算，有如下所谓“对称性”结论：

1. 若积分路径的形状关于x轴对称，而被积函数是y的偶函数，则所求积分等于沿位于x轴上方半段曲线积分的2倍；

2. 若积分路径的形状关于y轴对称，而被积函数是x的偶函数，则所求积分等于沿位于y轴右侧半段曲线积分的2倍；

       原题刚好满足上述结论1的条件，所以原曲线积分等于沿x轴上方半段曲线的积分的2倍。在原解法的“则”后省略了“=2乘以沿x轴上方半段曲线的积分”。这就是2的由来。

       不加2的话，刚好是计算沿半段曲线的积分，而漏掉了沿另半段曲线的积分。

追问

我以为只要一次0-4就是计算整个圆的路径了。不知道只算了半个？是因为一个x对应了两个y是吗

追答

是的。