Question

若a,b为正数，则a+b>=2*√(ab),当 且 仅当a=b时取等，试求下列式子最小值 最大值

若a,b为正数，则a+b>=2*√(ab),当 且 仅当a=b时取等，试求下列式子最小值 最大值
(x^4+x^2+4)/(x^2+1)
(x^4+x^2+4)/((x^2+1)^2)

Answer 1

(x^4+x^2+4)/(x^2+1)
=[x²(x²+1)+4]/(x²+1)
=(x²+1)+4/(x²+1)-1
≥2√[(x²+1)·4/(x²+1)]-1
=3.
∴x²+1=4/(x²+1)即x=±1时，
所求最小值为: 3.

因x²≥0，设t=1/(x²+1)，
则0<t≤1.
∴(x^4+x^2+4)/(x^2+1)^2
=[x²(x²+1)+4]/(x²+1)²
=x²/(x²+1)+4/(x²+1)²
=4/(x²+1)²+[(x²+1)-1]/(x²+1)
=4/(x²+1)²-1/(x²+1)+1
=4t²-t+1
=4(t²-1/4t+1/64)+15/16
=4(t-1/8)²+15/16
t=1/8，即x=±√7时，
所求最小值为: 15/16;
t=1，即x=0时，
所求最大值为: 4。