Question

2阶常系数齐次线性微分方程的通解。为什么用特征方程来求，这方法是怎么来的？

Answer 1

特征方程只是源于e^(ax)'=ae^(ax)这个特殊性质。如果你觉得这太“巧合”了，我有一个看似更令人信服的解法，即分解降解

追答

y''+Ay'+By=0，如果能找到u=cy'+dy，v=eu'+fu，并且v=y''+Ay'+By=0，那么方程解起来将很容易，因为要使v=0，只需要解关于u的一阶方程，或是u自身为0

不妨令c=e=1，则df分别为方程x^2-Ax+B=0的两个解

当方程有两个根时，正好可得到两个一阶微分方程，而当方程只有一个重根时，则不得不将一次求解的结果带入方程求第二个常数

微分方程有另一种表示方法：(D^2+AD+B)y=0，而这种方法就是尝试将其分解为(D+e)(D+f)y=0

其中的D表示求导运算。当A和B不是常数时不能简单地分解，事实上此时分解后往往会得到一个高难度的一阶二次非线性方程