定积分的估值性质是什么啊?这个结论怎么得到的啊?高等数学定积分问题求解?
在(0,π/4)内,x½<√tan x,而√tan x<1,所以由定积分的估值性质,题中不等式成立。
^令√(x+1) = u, 则x = u^2-1, dx = 2u.
I = ∫<0, 2>[u/(1+u)]2u= 2∫<0, 2>[u^2/(u+1)].
= 2∫<0, 2>[(u^2+u-u-1+1)/(u+1)].
= 2∫<0, 2>[u-1+1/(u+1)].
= [u^2-2u+2ln(u+1)]<0, 2> = 2ln3.
定积分:
定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式)。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
定积分定义:设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0,在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n)。
该和式叫作积分和,设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}(即λ是最大的区间长度),如果当λ→0时,积分和的极限存在,则这个极限叫作函数f(x) 在区间[a,b]的定积分。
a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a, b]叫作积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx 叫作被积表达式,∫ 叫做积分号。
参考资料来源:百度百科-定积分
2024-12-24 广告
在(0,π/4)内,x½<√tan x,而√tan x<1,所以由定积分的估值性质,题中不等式成立。
^令√(x+1) = u, 则x = u^2-1, dx = 2u
I = ∫<0, 2>[u/(1+u)]2u= 2∫<0, 2>[u^2/(u+1)]
= 2∫<0, 2>[(u^2+u-u-1+1)/(u+1)]
= 2∫<0, 2>[u-1+1/(u+1)]
= [u^2-2u+2ln(u+1)]<0, 2> = 2ln3
扩展资料:
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份,用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。
参考资料来源:百度百科-定积分
设f(x)最小m最大M,则曲线下方的面积,肯定大于矩形面积m(b-a),又肯定小于矩形面积M(b-a)。
画个图看看呢!