Question

高等数学 二题的1 2问 学渣求大神解答😖

Answer 1

这种一阶非齐次方程求解方法，最常用的是常数变易法。作为例子，我给你作一个。另一个
你就按同样步凑写下去就行了。
求微分方程 y'-ytanx=secx，满足初始条件 y(0)=0的特解。
解：先求齐次方程 y'-ytanx=0的通解：
分离变量得 dy/y=tanxdx
积分之，得lny=tanxdx=-ln cosx+lnc₁=ln(c₁/cosx)
故得齐次方程的通解为 y=c₁/cosx;
将c₁换成x的函数u，得y=u/cosx.............(1)
将(1)的两边对x取导数，得y'=(u'cosx+usinx)/cos²x..........(2)
将(1)(2)代入原方程得 (u'cosx+usinx)/cos²x-utanx/cosx=secx
即u'/cosx+utanx/cosx-utanx/cosx=secx
于是得u'/cosx=secx； u'=1；即得u=x+c.........(3)
将(3)代入(1)即得原方程的通解为：y=(x+c)/cosx；代入初始条件得c=0.
故原方程的特解为y=x/cosx.
【是否正确，将结果代入原方程看左右是否相等就知道了】